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函数周期性教案

文档类型:doc 上传时间:2018-07-07 文档页数:5页 文档大小:122.00 K 文档浏览:935次 文档下载:0次 所需积分:0 学币 文档评分:3.0星

函数周期性教案内容摘要: 函数周期性教案一,函数周期性1,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。当自变量增大任意实数时(自变量有意义),函数值有规律的重复出现假如函数 f(x)=f(x+T)(或 f(x+a)=f(x-b)其中 a+b=T),则说 T 是函数的一个周期.TT 的整数倍也是函数的一个周期,2.T 最小正周期的概念:对于一个函数 f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫 f(x)的最小正周期。对于正弦函数 y=sinx, 自变量 x 只要并且至少增加到 x+2π 时,函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是 2π。(说明:如果以后无特殊说明,周期指的就是最小正周期。)在函数图象上,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。3.T周期函数性质:(1)若 T(≠0)是 f(X)的周期,则-T 也是 f(X)的周期。(2)若 T(≠0)是 f(X)的周期,则 nT(n 为任意非零整数)也是 f(X)的周期。(3)若 T1 与 T2 都是 f(X)的周期,则 T1±T2 也是 f(X)的周期。(4)若 f(X)有最小正周期 T*,那么 f(X)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。(5)T*是 f(X)的最小正周期,且 T1、T2 分别是 f(X)的两个周期,则 (Q 是有理数集)(6)若 T1、T2 是 f(X)的两个周期,且 是无理数,则 f(X)不存在最小正周期。(7)周期函数 f(X)的定义域 M 必定是双方无界的集合。4.T重要推论1,若有 f(x)的 2 个对称轴 x=a,x=b.T则 T=2|a-b|在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.T 电话:0838—2305622 2309322 地址:德阳市旌阳区文庙广场 1 号 2 栋 32 号12,若有 f(X)的 2 个对称中心(a,0)(b,0)则 T=2|a-b|3,若有 f(x)的 1 个对称轴 x=a,和 1 个对称中心(b,0),则 T=4|a-b|二,周期函数的性质及题型。利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题.以下给出几个命题:命题1:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期.T(2)函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=§, 则f(x)是 周期函数,且2a是它的一个周期.(3)函 数 y=f(x) 满 足 f(x+a)+f(x)=1 , 则 f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期.命题2:若a、b()是非零常数,对于函数y= f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)是周期函数,且|a-b|是它的一个周期.T(2)函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.T(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是它的一个周期.T(4)函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是它的一个周期.T命题3:若a是非零常数,对于函数y=f(x)定义域的一切x,满足下列条件之一,则函数y=f(x)是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且4aa是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3(1),其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期已知②已知 A、C→ C B定义在∵ R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称已知③已知 C、B→ C A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.T 电话:0838—2305622 2309322 地址:德阳市旌阳区文庙广场 1 号 2 栋 32 号1( )f xa b2由命题3(2),我们还可以得到结论: f(x)是 周期为T的奇函数,则f()=0基于上述命题阐述,可以发现,抽象函数具 有某些关系.根据上述命题,我们易得函数周期,从而解决问题,以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1:f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+4a) ,x∈[0,2]时f(x)=x,求f(2007) 的值解:方法一 ∵f(x)=-f(x+4a) ∴f(x+8) =-f(x+4a) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1方法二∵f(x)=-f(x+4a),f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4a) ∴f(x)关于x=2对称 又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期,以下与方法一相同.例2:已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求f(2009) 的值解:由条件知f(x)1,故类 比 命 题 1 可 知 , 函 数 f(x)的周期为8,故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4a-x),且当时,f(x)=-2x+1,则当时求f(x)的解析式解:当时∴f(-x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当时∴f(-4a+x)=2(-4a+x)+1=2x-7又函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4a-x),类比命题3(1)知函数f(x)的周期为4a故f(-4a+x)=f(x)当时求∴ f(x)=2x-73.判断函数的奇偶性例4a:已知f(x)是定义在R上的函数,且 满足f(x+999)=,f(999+x)=f(999-x),试判断函数f(x)的奇偶性.解:由f(x+999)=,类比命题1可知,函 数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x);由由f(999+x)=f(999-x)知f(x)关于x=999对 称,即f(-x)=f(1998+x)故f(x)=f(-x) f(x)是偶函数4a.判断函数的单调性例5:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4a-x),且当时,f(x)是减函数,求证当时f(x)为增函数在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.T 电话:0838—2305622 2309322 地址:德阳市旌阳区文庙广场 1 号 2 栋 32 号2T1 ( )( 2)1 ( )f xf xf x 1 ( 2) 1( 4)1 ( 2) ( )f xf xf x f x      2,0x   4,6x  0, 2x [ 2,0]x   4,6x 4 [0,2]x   4,6x 1( )f x1( )f x 2,0x   4,6x 3解:设则∵ f(x)在[-2,0]上是减函数∴又函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4a-x),类比命题3(1)知函数f(x)的周期为4a故f(x+4a)=f(x) ∴ ∵ f(-x)=f(x) ∴故当时f(x)为增函数例6:f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a) =-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调.求a的值.解:∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于(3,0)对称∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称根据命题∴ 2(4a)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调∴a =65.确定方程根的个数例7:已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)= f(4a-x),f(7+x)= f(7-x),f(0)=0,求在区间[-1000,1000]上f(x)=0至少有几个根?解:依题意f(x)关于x=2,x=7对称,类比命题2(2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4a)=f(0)=0即在区间(0,10]上,方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程f(x)=0在区间[-1000,100 0]上至少有1+2=4a01个根.练习1:定义在 R 上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且 f (5-x) = f (5+x),则 f (x)一定是( )(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.T 电话:0838—2305622 2309322 地址:德阳市旌阳区文庙广场 1 号 2 栋 32 号1 24 6x x  2 12 4 4 0x x      2 1( 4) ( 4)f x f x    2 1( ) ( )f x f x  2 1( ) ( )f x f x 4,6x 20001042.T.T求证:若为奇函数,则方程=0 若有根一定为 奇数个。3.设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且 f(x-1)和 g-1(x-2)函数的图像关于直线 y = x 对称,若 g(5) = 1999,那么 f(4a)=( )。(A) 1999;由 (B)2000;由 (C)2001;由 (D)2002。4a..设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0x≤x≤00 时,f (x) = -x,则 f (8.T6 ) = _________ (第八 届希望杯高二 第一试题)5. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)= -f(x),当 0≤x≤0x≤x≤01 时,f (x) = x,则 f (7.T5 ) = ( )(A) 0.T5 (B) -0.T5 (C) 1.T5 (D) -1.T5在数学中,我们发现真理的主要工具是归纳和模拟.T 电话:0838—2305622 2309322 地址:德阳市旌阳区文庙广场 1 号 2 栋 32 号 f x x R f x215

函数周期性教案一,函数周期性1,函数周期性的关键的几个字“有
2,若有f(X)的2个对称中心(a,0)(b,0)则T=2|a-b|3,若有f(x)的1
由命题3(2),我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数,则f()=
解:设则∵f(x)在[-2,0]上是减函数∴又函数f(x)是定义在R上的偶
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