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3讲 因数和倍数—2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编(知识点精讲 达标检测).doc

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发表于 2022-11-17 10:22:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
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3讲 因数和倍数—2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编(知识点精讲 达标检测).doc内容摘要: 基础版(通用) 2021-2022 学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第 3 讲 因数和倍数 知识精讲知识点一:因数与倍数的意义和特征1.意义:如果 a b=c(a、b 是非 0 自然数),那么 a 和 b 是 c 的因数,c 是 a 和b 的倍数例如:2 4=8,就说 2 和 4 是 8 的因数,8 是 2 和 4 的倍数2.特征:①一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最大的因数是它本身。例如:15 最小的因数是 1,最大的因数是 15②一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数例如:31 最小的倍数是 31,没有最大的倍数。 )【提示】①研究因数与倍数时,所说的数一般指非 0 自然 数。②因数和倍数相互依存,不能单独说一个数是因数或倍数,应该说谁是谁的因数,谁是谁的倍数。知识点二:2 、3、5 的倍数的特征①2 的倍数的特征:个位是 0、2、4、6、8。例如:20,136,4578....②3 的倍数的特征:个位是 0 或 5。例如:21,327,.576.....③5 的倍数的特征:各位上数字的和一定是 3 的倍数。例如:50,8952645......○4 同时是 2 和 5 的倍数的特征:个位上是 0 的数同时是 2 和 5 的倍数。例如:90,340,....知识点三:奇数与偶数1.奇数:不是 2 的倍数的数叫作奇数,最小的奇数是 1.偶数:是 2 的倍数的数叫作偶数,最小的偶数是 0。2.和与积的奇偶性:(1)偶数士偶数=偶数奇数士奇数=偶数 奇数士偶数=奇数(2)偶数 偶数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数×奇数=偶数知识点四:质数与合数1.质数:只有 1 和它本身两个因数,这样的数叫作质数(或素数),最小的质数是 2.2.合数:除了 1 和它本身外还有别的因数,这样的数叫作合数,最小的合数是43.1 既不是质数,也不是合数。4.质因数:如果一个数的因数是质数,这个因数就是它的质因数。5,分解质因数:把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。6,公因数只有 1 的两个数叫作互质数。【提示】按因数个数的多少,自然数(0 除外)可分为三类:质数、合数和 1知识点五:最大公因数和最小公倍数1. 公因数和最大公因数:几个数公有的因数叫作这几个数的公因数;其中最大的公因 数叫作这几个数的最大公因数2. 求最大公因数的方法:(1)列举法; (2)筛选法(3)短除法3. 公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数;其中最小的公倍数叫作这几个数的最小公倍数4. 求最小公倍数的方法 (1)列举法;(2)筛选法(3)短除法5. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况:如果两个数是倍数关系,那么较小数就是这两个数的最大公因数,较大数就是这两个数的最小公倍数;如果两个数是互质数,那么它们的最大公因数就是 1,最小公倍数就是这两个数的乘积。能力提升百分练一、精挑细选(共 5 题;每题 2 分,共 10 分)1.(2021 五上·九台期末)自然数中,17 的倍数是()。 A.都是奇数B.都是质数C.都是合数D.以上都不对2. (2021 三上·九台期末)一双鞋的价格是一双袜子的 9 倍,一双袜子的价格是 10 元,一双鞋的价格是( ) A.18 元B.90 元 C.99 元3. (2021 五上·英德期末)从 2,0,5,7 四个数字中选择三个数字组成一个三位数,使它既是 3 的倍数,又是 5 的倍数。这个三位数最大是( )。 A.705 B.720 C.750 D.7024.(2020·五华)下列说法正确的是()。 A.所有的偶数都是合数 B.假分数的倒数一定是真分数 C.两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形5.(2020·大庆)在一个两位数之间插入一个数字,就变成一个三位数。例如:在 72 中间插入数字 6,就变成了 762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的 9 倍,下列数字满足条件的是:() A.25B.20C.18D.17二、判断正误(共 5 题;每题 2 分,共 10 分)6.(2021 五上·南郑期末)分数的分子与分母是两个不同的质数,这样的分数一定是最简分数。( )7.一个数既是 4 的倍数,又是 6 的倍数,这个数一定是 24 的倍数。8.18 分解质因数是 18=1×2×3×3。9. (2020·沈阳)用小于 10 的三个不同质数组成的同时是 2 和 3 的倍数的最大三位数是 972。( )10.(2021 五下·贵州期末)a 的最大因数和 b 的最小倍数相等,那么 a 与 b 相等。()三、仔细想,认真填(共 9 题;每空 1 分,共 15 分)11.(2021 五上·九台期末)在 15,18,25,30,19 中,2 的倍数有 ,5 的倍数有3 的倍数有,既是 2,5 的倍数,又是 3 的倍数有。12.(2021 五上·蒙城期末)6 和 24 最大公因数是 ,最小公倍数是 。13.(2021 五上·乐昌期末)已知 4 路公共汽车 10 分开出一辆,6 路公共汽车 15 分开出一辆,同时开出一辆后,至少再过 分又同时开出。14.一个数被 3 除余 2,被 5 除余 2,被 6 除余 2,这个数最小是。15.育红小学五(1)班学生人数在 45~60 之间,参加植树活动时,如果每 6 人一组或 9 人一组,都刚好分完且无剩余。这个班有 人。16.(2021 五下·苏州期末)王老师把 36 块饼干和 40 颗糖平均分给幼儿园的几个小朋友,结果饼干多了 1 块,糖少了 2 颗。参与分饼干和糖的小朋友有人。17.(2021·长春)如果你写出 12 的所有约数,除 1 和 12 外,你会发现最大的约数是最小约数的 3 倍,现有一个整数 n, 除掉它的约数 1 和 n 外,剩下的约数中,最大约数是最小约数的 15 倍,那么满足条件的整数 n 为 .(写出所有可能的答案)18.(2021 六上·济南期末)有两个质数,它们的和是合数,差是质数,并且和是差的 6 倍,这两个质数是和.19.(2020·武昌)在等式 a=3×5×m,b=3×7×m 中,m 是大于 0 的自然数,如果 a 和 b 的最大公因数是 6,那么 m 是,a 和 b 的最小公倍数是。四、计算能手(共 1 题;共 6 分)20.(2021 五下·滁州期中)直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。[7,10]=[24,4]= [12,15]= (8,12)=(75,15)=(20,21)=五、解决问题(共 11 题;共 59 分)21.(5 分)五(1)班学生人数不超过 50 人,在分小组做游戏时,可以分为每组 6 人或者每组 8 人,两种分法都刚好分完。这个班的学生最多可能有多少人?22.(5 分)如下图所示,用若干个长 10 厘米、宽 8 厘米的小长方形可以拼成一个正方形,那么拼成的正方形的边长最短是多少?至少需要多少个这样的小长方形?23.(5 分)(2020·惠阳)为支援灾区的学生,试验小学开展了捐苗活动,四年级捐书 210 本,五年级比四年级少捐 50 本,六年级捐的本数是五年级的 2 倍。六年级捐书多少本?24.(5 分)育才小学六(I)班同学做广播操,体育委员在前面领操,其他学生排成每行 12人或每行 16 人都正好是整行。这个班至少有学生多少人?25.(5 分)今年 3 月 12 日,五年级有一部分学生参加了植树活动,人数在 30 和 50 人之间,如果分 4 人一组,6 人一组或者 8 人一组,都恰好分完。五年级参加植树的学生有多少人?26.(5 分)小华是中学生.有人问他得了多少分?第几名?几岁了?小华说这三个问题的答案的乘积为 291O.小华得了多少分?第几名?多少岁?27.(5 分)五一班参加兴趣小组活动,如果 3 人一组,8 人一组或 16 人一组,都没有剩下的同学,这个班至少有多少人?28.(6 分)学校用地板砖铺设长 90 分米,宽 60 分米的教室地面,可以选用边长多少分米的正方形地板砖(使用的地板砖都是整块)?至少需要多少块?29.(6 分)小刚和爸爸在 400 米的环形跑道上跑步锻炼。爸爸每 4 分钟跑一圈,小刚每 6 分钟跑一圈。他们同时从起点出发后,至少经过多少分钟又能在起点相遇?30.(6 分)(2021 五上·峄城期中)小明、小华两位同学共向河南灾区捐款 180 元,其中小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的 2 倍,小明、小华各捐款多少元?31.(6 分)把一个长 40 厘米、宽 32 厘米、高 28 厘米的长方体木块锯成若干个大小相同的正方体木块,锯完后没有余料,最少可以锯成多少个正方体? 答案解析1.【答案】D【完整解答】解:自然数中,17 的倍数有:17、34、51、68、85······这些数中有奇数、偶数、质数也有合数。故答案为:D。【思路引导】17 的倍数有奇数、偶数、质数还有合数。2.【答案】B【完整解答】解:10×9=90(元)故答案为:B。【思路引导】一双鞋的价格=一双袜子的价格×9,据此解答。3.【答案】C【完整解答】 从 2,0,5,7 四个数字中选择三个数字组成一个三位数,使它既是 3 的倍数,又是 5 的倍数。这个三位数最大是 750。故答案为:C。【思路引导】既是 3 的倍数,又是 5 的倍数:一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数,个位上是 0 或 5 的数,据此解答。4.【答案】C【完整解答】A 选项, 所有的偶数都是合数,说法错误;B 选项, 假分数的倒数一定是真分数,说法错误 ;C 选项, 两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形,说法正确 。故答案为:C。【思路引导】A、B 选项,举反例即可,2 是偶数,但不是合数;1 是假分数,它的倒数仍是 1。据此解答即可。5.【答案】A【完整解答】 在一个两位数之间插入一个数字,就变成一个三位数。例如:在 72 中间插入数字 6,就变成了 762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的 9 倍,下列数字满足条件的是:25。故答案为:A。【思路引导】 解答此题时,首先判断个位是几,这个数的个位乘 9 后,积的个位还是原来的个位,说明个位只能是 0 或 5;当个位是 0,因为 20×9=180,30×9=270,……,不管是几十乘 9,结果百位数字总比原来的十位数字小,所以个位只能是 5,25×9=225,在 25 的中间插入数字 2,就变成了 225,符合题意。6.【答案】(1)正【完整解答】解:分数的分子与分母是两个不同的质数,这样的分数一定是最简分数。原题说法正确。故答案为:正确。【思路引导】分子和分母的公因数只有 1 的分数是最简分数,分数的分子和分母是两个不同的质数,这个分数的分子和分母只有公因数 1,所以是最简分数。7.【答案】(1)错误【完整解答】解:一个数既是 4 的倍数,又是 6 的倍数,但是这个数不一定是 24 的倍数。故答案为:错误。【思路引导】12 既是 4 的倍数,又是 6 的倍数,但不是 24 的倍数。8.【答案】(1)错误【完整解答】解:18 分解质因数是 18=2×3×3。故答案为:错误。【思路引导】把一个数分解质因数,要从最小的质数除起,一直除到结果为质数为止。9.【答案】(1)错误【完整解答】 用小于 10 的三个不同质数组成的同时是 2 和 3 的倍数的最大三位数是 732。原说法错误。故答案为:错误。【思路引导】10 以内质数有 2、3、5、7。百位是 7,十位是 2,个位是 2 时,符合题意。10.【答案】(1)正【完整解答】解:a 的最大因数是它本身,b 的最小倍数是它本身,那么 a 与 b 相等。故答案为:正确。【思路引导】一个数的最大因数与最小倍数都等于它本身,所以 a 与 b 相等。11.【答案】18、30;15、25、30;15、18、30;30【完整解答】解:2 的倍数有:18、30;5 的倍数有:15、25、30;3 的倍数有:15、18、30;既是 2,5 的倍数,又是 3 的倍数有:30。故答案为:18、30; 15、25、30;15、18、30;30。【思路引导】个位上是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数;个位上是 0 或者 5 的数是 5 的倍数;一个数各个数位上的数的和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍数;个位上是 0,并且各个数位上的数的和是 3 的倍数,这个数同时是 2、3 和 5 的倍数。12.【答案】6;24【完整解答】解:6 和 24 最大公因数是 6,最小公倍数是 24。故答案为:6;24。【思路引导】两个数是倍数关系,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数。13.【答案】30【完整解答】解:10 和 15 的最小公倍数是:5×2×3=10×3=30,至少再经过 30 分又同时开出。故答案为:30。【思路引导】又同时开出至少再经过的时间=10 和 15 的最小公倍数,用短除法求出。14.【答案】32【完整解答】解:3、5、6 的最小公倍数是 30,30+2=32,所以这个数最小是 32。故答案为:32。【思路引导】因为这个数被 3、5、6 除都余 2,所以先求出 3、5、6 的最小公倍数,然后加上2 即可。15.【答案】54【完整解答】解:6 和 9 的最小公倍数是:3×2×3=6×3=1818×3=54(人)故答案为:54。【思路引导】如果每 6 人一组或 9 人一组,都刚好分完且无剩余,则这个班的人数是 6 和 9的公倍数,用短除法求出;因为育红小学五(1)班学生人数在 45~60 之间,所以参加植树活动时的人数=18×3=54 人。16.【答案】7【完整解答】解:36-1=3540+2=4235 和 42 的最大公因数是 7,则参与分饼干和糖的小朋友有 7 人。故答案为:7。【思路引导】参与分饼干和糖的小朋友的人数=35 和 42 的最大公因数,用短除法求出。17.【答案】60 或 135【完整解答】解:因为其中一个约数是另一个约数的 15 倍,结合 15=3×5,那么这个数必然含有约数 3 和 5,那么最小的约数除 1 外就不能是 5,所以就只有 2 和 3,那么 n 就是 2×15×2=60,或者 3×15×3=135。故答案为:60 或 135。【思路引导】因为其中一个约数是另一个约数的 15 倍,结合 15=3×5,那么这个数必然含有约数 3 和 5,那么最小的约数除 1 外就不能是 5,所以就只有 2 和 3;然后确定 n 的所有可能即可。18.【答案】5;7【完整解答】解:设其中一个数为 a,另一个数为 b,则a+b=6(a-b)a+b=6a-6ba+b-6a+6b=07b-5a=0则这两个质数是 5 和 7。故答案为:5;7。【思路引导】设其中一个数为 a,另一个数为 b,根据两个数的和是差的 6 倍列出一个含有未知数的等式,化简这个等式确定 a 与 b 的关系并确定这两个数即可。19.【答案】2;210【完整解答】解:3m=6,则 m=2;最小公倍数是:3×5×2×7=210。故答案为:2;210。【思路引导】两个数公有的质因数是 3 和 m,最大公因数是 6,说明 3 和 m 的乘积是 6,这样就能确定 m 的值。两个数的最小公倍数是两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积。20.【答案】[7,10]=70 [24,4]=24[12,15]=60(8,12)=4(75,15)=15(20,21)=1【思路引导】求两个数的最大公因数,先把这两个数分解质因数,它们的最大公因数就是把它们公有的质因数乘起来即可;求两个数的最小公倍数,先把这两个数分解质因数,它们的最小公倍数就是把它们公有的和各自有的质因数乘起来即可;互质的两个数的最大公因数是 1,最小公倍数是它们的乘积;一个数的另一个数的整数倍,那么这两个数的最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数。21.【答案】解:6 和 8 的最小公倍数是 24。24×2=48(人)答:这个班的学生最多可能有 48 人。【思路引导】每组 6 人或者每组 8 人,两种分法都刚好分完,先找出 6 和 8 的最小公倍数,然后根据最小公倍数的倍数找出符合题意的人数即可。22.【答案】解:10 和 8 的最小公倍数是 40,(40÷10)×(40÷8)=20(个)答:拼成的正方形的边长最短是 40 厘米,至少需要 20 个这样的小长方形。【思路引导】拼成的正方形的边长最短就是小长方形的长和宽的最小公倍数,那么至少需要这样的小正方形的个数=(拼成的正方形的边长÷长方形的长)×(拼成的正方形的边长÷长方形的宽)。23.【答案】解:(210-50)×2=160×2=320(本)答: 六年级捐书 320 本。【思路引导】根据“ 六年级捐的本数是五年级的 2 倍”可得“五年级的本数×2=六年级的本数”据此解答即可。24.【答案】解:12=2×2×3,16=2×2×2×2,12 和 16 的最小公倍数是:2×2×2×2×3=48,48+1=49(人)答:这个班至少有学生 49 人。【思路引导】除了体育委员,其他学生人数一定是 12 和 16 的公倍数,因此求出 12 和 16 的最小公倍数再加上体育委员就是这个班至少的人数。25.【答案】解:4、6、8 的最小公倍数是 24,4、6、8 的公倍数有 24、48、72……,答:五年级参加植树的学生有 48 人。【思路引导】因为分 4 人一组,6 人一组或者 8 人一组,都恰好分完,所以总人数一定是 4、6、8 的公倍数。先找出三个数的最小公倍数,再找出几个倍数,在 30 到 50 之间的倍数就是五年级参加植树的学生数。26.【答案】解:2910=2×3×5×97,小华是中学生,小学生一般六周岁入学,则他的年龄一定是 3×5=15 岁,即 2910=15×2×97.则他的得分为 97,名次为第 2 名,年龄是 15.答:小华得了 97 分,第 2 名,15 岁【思路引导】本题可将 2910 分解质因数后,根据得分、名次及年龄的特点进行确定.2910=2×3×5×97.由于 2910 正好是小明得分、名次和他的年龄的连乘积.小华是中学生,小学生一般六周岁入学,则他的年龄一定是 3×5=15 岁,则他的得分为 97,名次为第 2 名.首先将 2910 分解质因数,并根据年级及年龄特点确定年龄是完成本题的关键.27.【答案】解:8=2×2×2,16=2×2×2×2,3、8 和 16 的最小公倍数是;2×2×2×2×3=48,答:这个班至少有 48 人。【思路引导】如果 3 人一组,8 人一组或 16 人一组,都没有剩下的同学,那么五一班的人数是 3、8 和 16 的公倍数,要求至少有多少人,就是求 3、8 和 16 的最小公倍数,据此解答.解答本题关键是理解:每 3 人分一组,没有剩余,每 8 人分一组也没有剩余,每 16 人分一组也没有剩余,就是说五一班的人数是 3、8 和 16 的公倍数.28.【答案】解:90 的因数有:1、2、3、5、6、9、10、15、30、45、90,60 的因数有:1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60,所以 90、60 的公因数有:1、2、3、5、6、10、15、30,答:可以选择边长是 2 分米、3 分米、5 分米、6 分米、15 分米、30 分米的正方形地砖.求至少需要多少块,应使每块正方形地板砖的面积最大,所以:90×60÷(30×30)=5400÷900=6(块)答:至少需要 6 块【思路引导】(1)根据题意,要满足使用的地砖都是整块,则正方形地砖的边长是 90、60 的公因数;然后求出 90、60 的因数各有哪些,进而判断出 90、60 的公因数,即可求出选择边长是多少分米的正方形地砖. (2)求至少需要多少块,应使每块正方形地板砖的面积最大;先根据长方形的面积公式:S=ab 和正方形的面积公式:S=a2,分别求出教室的面积和地板砖的最大面积,再用教室的面积除以地板砖的面积,解答即可.此题主要考查了几个数的公因数的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是注意联系生活实际.29.【答案】解:4 和 6 的最小公倍数是:2×2×3=4×3=12答:至少经过 12 分钟又能在起点相遇。【思路引导】又能在起点相遇至少经过的时间=4 和 6 的最小公倍数,用短除法求出。30.【答案】解:小华捐款的钱数=180÷(1+2)=180÷3=60(元);小明捐款的钱数=60×2=120(元)。答:小明捐款 120 元;小华捐款 60 元。【思路引导】小华捐款的钱数占 1 份,则小明捐款的钱数占 2 份,所以小华捐款的钱数=小明和小华一共捐款的钱数÷(小华捐款的钱数占的份数+小明捐款的钱数占的份数);小明捐款的钱数=小华捐款的钱数×小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的倍数,代入数值计算即可。31.【答案】解:40、32 和 28 的最大公因数是 2×2=440÷4=10(个)32÷4=8(个)28÷4=7(个)10×8×7=80×7=560(个)答:最少可以锯成 560 个正方体。【思路引导】最少可以锯成正方体的个数=长方体长边锯的个数×宽边锯的个数×高边锯的个数;其中;长、宽、高边锯的个数=长方形的长、宽、高分别÷它们的最大公因数;用短除法求出它们的最大公因数。
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