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5讲 比和比例—2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编(知识点精讲 达标检测).doc

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发表于 2022-11-17 10:22:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
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5讲 比和比例—2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编(知识点精讲 达标检测).doc内容摘要: 基础版(通用)2021-2022 学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第 5 讲 比和比例 知识精讲知识点一:比1.比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。2.比的各部分名称及比的读法:4: 5=4÷5=0.8↓↓ ↓ ↓前项比号后项 比值3.比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0 除外),比值不变4.求比值与化简比(1)求比值:前项除以后项所得的商是比的结果,叫比值。同类量的比,其比值没有单位名称; 不同类量的比,其比值有单位名称。例如:100 千米:5 时=20 千米/时(2)化简比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。把两个数的比化成最简整数比的,称为化简比或比的化简。5.比与分数、除法的关系关系:比与分数相比,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数值,比号相当于分数线;比与除法比较,比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于商,比号相当于除号。(1)比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法前项分子 被除法:(比号) 一(分数线) ÷(除号) 联系后项分母 除数比值分数值 商同类量的比表示两个数的倍比关除法是一种运 区别 系;不同类量的比表示一个新的 分数是一种数算量。(2)比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知,比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同,其实质是一样的。6.按比分配:(1)在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。(2)按比分配应用题的特征:已知总数量和部分数量的比,求各部分数量。(3)常用的解题方法有两种:一种是先求总份数,再求各部分量占总量的几分之几,最后求各部分数量;另一种是先求每份是多少,再求几份是多少。知识点二:比例1.比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。2.比例的各部分名称:组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。3.比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。4.比和比例的区别(1)比表示两个量相除的关系,它有两项(即前、后项) ;比例表示两个比相等的式子,它有四项(即两个内项和两个外项) 。(2)比有基本性质,它是化简比的依据;比例出有基本性质,它是解比例的依据。5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项,也就是已知比例中的任意三项,就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。知识点三:正比例和反比例1.判断正比例和反比例的方法:(1)分析数量关系,确定哪两种量是相关联的量。(2)分析两种相关联的量,看它们之间是比值一定还是积一定。(3)如果是比值一定,就成正比例;如果是积一定,就成反比例;如果比值和积都不是一定的,就不成比例。2.正比例图像:正比例图像是一条直线。3.用比例的知识解决实际问题(1)用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。(2)应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例;②设未知量为 x;③列出比例,解比例;④检验并作答。知识点四:比例尺1.比例尺的意义(1)图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。即,(2)2.比例尺的分类(1)数值比例尺:1:200000 或,比例尺一般写成前项是 1 或后项是 1 的形式(2)线段比例尺:这种用线段表示的比例尺,叫作线段比例尺3 求图上距离或实际距离:图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺 能力提升百分练一、精挑细选(共 5 题;每题 2 分,共 10 分)1.一个三角形三个内角的度数比是 1:1:2,这个三角形是( )。A.锐角三角形 B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形2.20 千克:0.2 吨的比值是()。1A.20:100B.1 C.10D. 103.1 千克盐溶解在 9 千克水中,盐与盐水的比是()。A.1︰ 9B.9︰1 C.1︰ 8D.1︰104. 《庄子·天下篇》中“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”的意思是:一尺长的木棒,第一天截取它长度的一半,以后每天都截取它前一天的一半,那么将永远也截取不完。如果按照这种截取方法,那么第 3 天截取的木棒长度与原来的木棒总长度的比是( )。A.1:2 B.1:3 C.1:6 D.1:85.如果甲、乙是两个成反比例的量,那么当甲增加 50%时,乙一定会()。 12 A.增加 50% B.减少 C.减少 D.减少 50% 33二、判断正误(共 5 题;每题 2 分,共 10 分)6.某品牌钟表上需要一个长 0.5 毫米的零件,设计师将这个零件放大画在图纸上长 5 厘米,这幅图的比例尺是 1∶100。( )67.甲数和乙数的比是 2:3,乙数是丙数的 ,则甲、丙两数的比是 4:5。( )58.甲、乙、丙三人分一箱水果,若按 1:2:3 或 3:2:5 的比分配,则两种分法中,乙分得的一样多。()9.若大圆与小圆半径的比是 2:1,则大圆与小圆面积的比也是 2:1。( )10.从 A 地到 B 地,甲要 4 分钟,乙要 5 分钟,甲乙的速度比是 4:5.()三、仔细想,认真填(共 9 题;每空 1 分,共 14 分)11.把 0.12:3.6 化成最简单的整数比是 ,比值是。12.疫情防控时,一般家用消毒酒精中纯酒精和蒸馏水的比是 3:1,现有这种消毒酒精 2000毫升,其中有 毫升的纯酒精和 毫升的蒸馏水。13.王老师用扇形统计图反映学校的学生和老师情况,表示男生和女生的扇形圆心角度数比是6:5,表示老师的扇形圆心角度数是 30°。那么男生的扇形圆心角为。114.将甲班人数的 调入乙班后,两班人数相等,原来甲、乙两班的人数比是。815.大壮和二壮弟兄俩各自带了一些钱去新华书店买书,大壮花了 20 元买了一本《梦幻世界》, 132正好花掉了自己钱总数的,这时大壮钱数的 和二壮钱数的 相等。买书前大壮带了 343元,二壮带了 元,二壮与大壮带的钱数的比是 。16.如图,平行四边形的面积是 20 平方厘米,图中甲乙丙三个三角形的面积比是。17.有 240 人去春游,带队老师想准备一些饮料,商店“优惠告示”写着本店饮料 6 只空瓶可换 1 瓶饮料,240 人至少买 瓶饮料,就能保证每人都喝一瓶。18.两个相同的瓶子装满酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积之比是 3:1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4:1,若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是.19.如图,大小两个正方形中涂色部分的面积比是 3:2,则大小两个正方形的边长比是 ,面积比是。四、计算能手(共 2 题;共 17 分)20.(8 分)求比值。8 4(1)0.24:2 (2) 9 : 72 2(3) :0.6(4)1 小时 40 分: 时3 321.(9 分)在下面的方格图中按要求画图(每个小方格的边长 1 厘米)。 (1)(3 分)画一个长方形,周长是 16 厘米,长和宽的比是 5:3。 (2)(3 分)将所画的长方形的面积按 2:3 分成两部分,其中一部分涂色或画上斜线。 (3)(3 分)画一个面积是 18 平方厘米的长方形,长和宽的比是 2:1。五、解决问题(共 10 题;共 49 分)22.(4 分)一个长方形周长 480 厘米,长与宽的比是 5:3,这个长方形的面积是多少平方米?123.(4 分)湖北省图书馆新购进文学类、科普类和故事类图书共 8000 册,其中为文学类4图书,科普类图书和故事类图书的比为 3:1.则新购进的科普类图书和故事类图书分别有多少册?24.(4 分)某天中午六年级同学同时测量了一棵大树和学校旗杆的影长,测量结果是:大树影长 3.2 米,旗杆影长 6 米。已知旗杆的高度为 15 米,这棵大树高多少米?25.(10 分)建筑工地用的混凝土是用水泥、黄沙、石子三种材料按照 1∶2∶4 搅拌而成的. (1)(5 分)搅拌这种混凝土 140 吨,需要水泥、黄沙和石子各多少吨? (2) (5 分)现在工地上有水泥 7 吨,黄沙 10 吨,石子 20 吨.如果要把石子全部用完,水泥够不够?够,剩余多少吨?不够,还缺多少吨? 2(4 分)大有家有温室菜地 1200 m 2 ,其中26.种黄瓜,剩下的按 7∶5 种西红柿和茄子.三 5种蔬菜各种了多少 m 2 .27.(5 分)如图是斑马和鹿的奔跑情况。(1)根据图像,鹿奔跑的路程和奔跑时间成比例。斑马奔跑的路程和奔跑时间成 比例。(2)利用图像分析,鹿 22 分钟大约跑了千米;斑马奔跑 20 千米大约需要分钟。(3)从图像上看,跑得快。28.(4 分)甲、乙两地相距 480km。客、货两车分别从甲、乙两地同时相对开出,4 小时后相遇。已知客、货两车的速度比是 7:5。货车的速度是多少?29.(4 分)两辆汽车同时从相距 483km 的两地相对开出,3.5 时后相遇。己知两辆车都是匀速行驶,且速度比是 10:13,两车的速度之差是多少? 530.(5 分)学校计划绿化一块 240 平方米的空地,先划出总面积的 种树,剩下的地按 4∶312的比种草和种花。种草和种花的面积各是多少平方米?31.(5 分)两个同样的杯子里都装满了糖水。第一个杯子里的糖和水的重量之比是 1:9,第二个杯子里的糖和水的重量之比是 1:10,把两杯糖水倒入一个大杯子里混合,这时糖和水的重量之比是多少? 答案解析1.【答案】D2【完整解答】解:180°×=90°,这是一个等腰直角三角形。1+1+ 2故答案为:D。【思路引导】三角形有两个角相等,一定是等腰三角形,最大角的度数占三角形内角和的2 ,求出三角形最大角的度数,再确定三角形的类型即可。1+1+ 22.【答案】D1【完整解答】解:20 千克:0.2 吨=20 千克:200 千克=20÷200=。 10故答案为:D。【思路引导】先单位换算,求比值,用比的前项除以比的后项。3.【答案】D【完整解答】解:1:(1+9)=1:10。故答案为:D。【思路引导】盐与盐水的比=盐的质量:(盐的质量+水的质量) 。4.【答案】D 111【完整解答】解: × × 2221 1= ×4 21=81:1=1:8。8故答案为:D。 11 1 1【思路引导】第 3 天截取的木棒长度占总长度的× × = ;第 3 天截取的木棒长度与原 22 2 8 1来的木棒总长度的比:1=1:8。 85.【答案】A 22 1【完整解答】解:假设甲×乙=1,1÷(1+50%)= ,1- = ,所以当甲增加 50%时,乙一定 33 3 1会减少 。 3故答案为:B。【思路引导】因为甲、乙是两个成反比例,可以假设甲×乙=1,当甲增加 50%后,乙缩小到原22 1来的几分之几=1÷(1+甲增加百分之几),解得乙缩小到原来的,所以乙减少 1- = 。33 36.【答案】(1)错误【完整解答】解:(5×10):0.5=500:5=100:1故答案为:错误。【思路引导】比例尺=图上距离:实际距离。7.【答案】(1)正 66【完整解答】解:甲数和乙数的比是 2:3,乙数是丙数的,则甲、丙两数的比是 2: (3÷ ) 555=2: =4:5。原题说法正确。2故答案为:正确。 6【思路引导】把甲数看作 2,乙数看作 3,根据分数除法的意义,用 3 除以 即可求出丙,然 5后写出甲、丙的比并化成最简整数比即可。8.【答案】(1)错误 2 2【完整解答】解:>,所以两种分法中,乙分的不一样多。原题说法错误。1+ 2 + 3 3 + 2 + 5故答案为:错误。 2【思路引导】第一种分法中,乙分的占总数的 ,第二种分法中,乙分的占总数的1+ 2 + 3 2 ,比较两种分法中乙占总数的分率即可确定乙分的是否一样多。3+ 2+59.【答案】(1)错误【完整解答】令小圆半径为 1,大圆半径为 2,面积之比是(22×π):(12×π)=4π:1π=4:1故答案为:错误。【思路引导】根据大圆和小圆的半径之比是 2:1,可以把小圆的半径看作 1,大圆的半径看作2,再根据圆的面积=πr2,分别求出大圆和小圆面积,再化简比即可。10.【答案】(1)错误【完整解答】解:(1÷4):(1÷5)1 1= :4 5=5:4答:甲、乙的速度比是 5:4。所以题干的说法是错误的。故答案为:错误。【思路引导】把这段路的长度看作单位“1”,先根据速度=路程÷时间,表示出两人的速度,再求出两人的速度比即可解答.111.【答案】1:30; 30【完整解答】解:0.12:3.6=12:360=(12÷12):(360÷12)=1:3011:30=1÷30= 30 1故答案为:1:30; 。30【思路引导】化简比的方法:根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0 的数,把比化为最简单的整数比;求比值的方法:用比的前项除以比的后项得到一个数,这个数就是比值。12.【答案】1500;500【完整解答】解:2000÷(3+1)=500(毫升),纯酒精:500×3=1500(毫升),蒸馏水:500×1=500(毫升)。故答案为:1500;500。【思路引导】用 2000 除以(3+1)求出每份的量,用每份的量乘 3 即可求出纯酒精的量,用每份的量乘 1 即可求出蒸馏水的量。13.【答案】180 度6【完整解答】解:(360°-30°)× 6+5 6=330°×11=180(度)故答案为:180 度。【思路引导】用 360°减去表示老师的圆心角度数求出剩下圆心角的度数和,表示男生的扇形 6圆心角度数是二者和的,根据分数乘法的意义求出表示男生的扇形圆心角的度数即可。6+514.【答案】4:3 1 13【完整解答】解:甲、乙两班的人数的比是:1:(1- - )=1: =4:3。 8 84故答案为:4:3。 1 1【思路引导】甲班人数看作“1”,那么乙班人数就是(1- - ),由此写出两班的人数比并 8 8化成最简整数比即可。15.【答案】60;45;3:4 1【完整解答】解:20÷ =60(元) 3 3 2(60-20)× ÷ 4 3 3 2=40× ÷ 4 3 2=30÷ 3=45(元)45:60=(45÷15):(60÷15)=3:4故答案为:60;45;3:4。【思路引导】买书前大壮带的钱数=大壮花的钱数÷占的分率;二壮的钱数=(买书前大壮带的 32钱数-花的钱数) × ÷ ;然后写出二壮与大壮带的钱数的比是 45:60,依据比的基本性 43质化简比。16.【答案】2:3:5【完整解答】解:甲的面积+乙的面积=丙的面积=20÷2=10(平方厘米);2甲的面积=10× 2+3 2=10× 5=4(平方厘米);3乙的面积=10× 2+3 3=10× 5=6(平方厘米);所以甲的面积:乙的面积:丙的面积=4:6:10=(4÷2):(6÷2):(10÷2)=2:3:5。故答案为:2:3:5。【思路引导】观察图形以及三角形和平行四边形的面积公式可得甲的面积+乙的面积=丙的面积=平行四边形的面积÷2,再观察图形可得甲与乙的高相等,底边比是 2:3,根据甲的面积=甲甲底边占的份数+乙的面积之和×,乙的面积=甲+乙的面积之和甲和乙底边占的份数之和乙底边占的份数× 分别计算出甲和乙的面积,再将甲、乙、丙的面积进行相比即可甲和乙底边占的份数之和得出答案。17.【答案】200【完整解答】解:设 240 人至少买 x 瓶饮料,就能保证每人都喝一瓶。 x6 -1=240 66x=240×56x=1200x=1200÷6x=200。故答案为:200。【思路引导】依据至少买饮料的瓶数:春游的总人数=(6-1):6 列比例,解比例。18.【答案】31:93411【完整解答】解:( + ):( + )3 +1 4 +1 3 +1 4 +131 9=:20 20=31:9故答案为:31:9。3 1【思路引导】根据酒精与水的比可知,第一个瓶子中酒精占总量的,水占总量的;3 +13 +1然后用同样的方法确定第二个瓶子中酒精和水的含量,然后写出两瓶中酒精与水的比并化成最简整数比即可。19.【答案】3:2;9:4【完整解答】解:如图,大小两个正方形中涂色部分的面积比是 3:2,则大小两个正方形的边长比是 3:2,面积比是:32:22=9:4。故答案为:3:2;9:4。【思路引导】大小两个三角形底在一条直线上,对应的高相等,所以两个三角形的面积比就是两个三角形对应底边的比,所以两个正方形边长比是 3:2;面积比是边长平方的比。20.【答案】(1)0.24:2 =0.24÷2=0.12 84(2): 978 4 = ÷9 714 = 9 2(3) :0.6 3 2 3 =÷ 3 5 2 5 = × 3 310 = 92(4)1 小时 40 分: 时3 2 2 =1 时: 时 3 3 5 2 = ÷ 3 3 5 3 = × 3 2 5 = 2【思路引导】求比值的方法:用比的前项除以比的后项得到商,这个商就是比值。比值可以用分数表示,也可以用小数或整数表示。如果单位不统一,先统一单位,再求比值。 5 321.【答案】(1)解:长+宽:16÷2=8,5+3=8,长:8× =5(厘米),宽:8× =3(厘米)。 8 8(2)解:(3)【思路引导】(1)长+宽=周长÷2,长=周长的一半×对应占比,宽=周长的一半×对应占比。(2)将长方形平均分成 5 份,取其中 2 份图上颜色。(3)18=1×18=2×9=3×6,取符合题意一组,作为长方形的长和宽即可。22.【答案】解:480÷2=240(厘米)3240× =90(厘米) 5+35240× =150(厘米) 5+3150×90=13500(平方厘米)答:这个长方形的面积是 13500 平方厘米。【思路引导】长方形的长和宽的和=长方形的周长÷2,那么长方形的长=长方形的长和宽的和 长方形的长占的份数×,长方形的宽=长方形的长和宽的和长方形的长和宽占的份数和 长方形的宽占的份数×,所以长方形的面积=长×宽。长方形的长和宽占的份数和123.【答案】解:8000×(1- )=6000(册)4 36000× =4500(本) 3 +16000-4500=1500(本)答:新购进的科普类图书有 4500 本,故事类图书有 1500 本。【思路引导】新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数=图书馆一共购书的本数×(1-文学类图书占几分之几),所以新购进的科普类图书有的本数=新购进的科普类图书和故事类图科普类图书占的份数书一共有的册数×,新购进的故事类图书有的本数=新购 科普类图书和故事类图书占的份数和 故事类图书占的份数进的科普类图书和故事类图书一共有的册数× ,据此代科普类图书和故事类图书占的份数和入数值作答即可。24.【答案】解:设大树的高是 x 米,则3.2:x=6:15 6x=3.2×15 6x÷6=3.2×15÷6 x=8答:这棵大树高 8 米。【思路引导】设大树的高是 x 米,根据题意可得大树的影长:这棵大树的高度=旗杆的影长:旗杆的高度,代入数值,再根据比例的基本性质即可得出一个方程,求解方程即可得出答案。25.【答案】(1)20 吨,40 吨,80 吨(2)够,剩余 2 吨【思路引导】(1)根据比确定水泥,黄沙,石子三种材料与总重量比较的占比,然后根据各自的占比,求出它们的重量。(2)假设 10 吨黄沙需要水泥 x 吨,x:10=1:2,解得 x=5,7-5=2 吨,所以,够,剩余 2 吨。2526.【答案】解:黄瓜: 1200 ´ = 480 ( m 2 ) ,茄子: 700 ´ = 300 ( m 2 ) ,西红柿:5 12 7700 ´= 420 ( m 2 )12 2 5【完整解答】黄瓜: 1200 ´ = 480 ( m 2 ) ,茄子: (1200 - 480)´ = 300 (平方米),西 55+7 7红柿: (1200 - 480)´ = 420 (平方米)5+7【思路引导】先求出种植西红柿和茄子的面积,然后根据他们的占比,求出各自的面积。27.【答案】(1)正;正(2)18;17(答案不唯一)(3)斑马【完整解答】(1) 根据图像,鹿奔跑的路程和奔跑时间成正比例。斑马奔跑的路程和奔跑时间成正比例。(2) 利用图像分析,鹿 22 分钟大约跑了 18 千米;斑马奔跑 20 千米大约需要 17 分钟。(3) 从图像上看,斑马跑得快。故答案为:(1)正;正;(2)18;17(答案不唯一);(3)斑马。【思路引导】(1)观察图像可知,两条线都是通过原点的直线,是正比例图像;(2)观察图像,根据路程与时间的关系,估算鹿 22 分钟大约跑了多少千米;斑马奔跑 20 千米大约需要几分钟;(3)观察对比可知,从图像上看,斑马跑得快。28.【答案】解:(480÷4)÷(7+5)×5=120÷12×5=10×5=50(千米/时)答:货车的速度 50 千米/时。【思路引导】货车的速度=(甲、乙两地相距的路程÷相遇时间)÷总份数×货车占的份数。29.【答案】解:(483÷3.5)÷(10+13)=138÷23=6(千米/时)(13-10)×6=3×6=18(千米/时)答:两车的速度之差是 18 千米/时。【思路引导】两车的速度之差=平均每份的速度×份数差;其中,平均每份的速度=速度和÷总份数;速度和=路程÷相遇时间。530.【答案】解:240×(1-) 12 7=240×12=140(平方米)4140× =80(平方米) 4+33140× =60(平方米) 4+3答:种草的面积是 80 平方米,种花的面积 60 平方米。 5【思路引导】用总面积乘(1- )求出剩下的面积,然后把剩下的面积按照 4:3 的比分配后12分别求出种草和种花的面积。æ 1 1 ö æ 9 10 ö 2131.【答案】解: ç + ÷ : ç + ÷ =è 10 11 ø è 10 11 ø 199【完整解答】答:这时糖和水的重量比是 21:199。1 9【思路引导】第一个杯子糖占总重量的 ,水占总重量的 ,用同样的方法表示出第二个杯 1010子糖和水分别占总重量的几分之几。把糖占的分率相加,把水占的分率相加,然后写出糖和水的重量之比即可。
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