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24讲 数学问题—2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编(知识点精讲 达标检测).docx

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发表于 2022-11-17 10:23:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
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资源描述
24讲 数学问题—2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编(知识点精讲 达标检测).docx内容摘要: 提高版(通用)
2021-2022 学年小升初数学精讲精练专题讲义
第 24 讲 数学问题
知识精讲

知识点一:简单的排列与组合
1.排列、组合:排列是把给定个数的元素按照一定的顺序排成一列;组合是把给

定个数的元素按任意顺序并成一组。

2.解决排列、组合问题的基本原理:分类计数原理(也称加法原理)与分步计数

原理(也称乘法原理)

(1)分类计数原理:指完成一件事有很多种方法,各种方法相互独立, 用其中

任何一种方法都可以完成这件事。那么各种不同的方法数相加,其和就是完成这

件事的方法总数。

(2)分步计数原理:指完成一件事,需要分成多个步骤,每个步骤中又有多种

方法,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事。那么

每个步骤中的方法数相乘,其积就是完成这事的方法总数。

知识点二:简单的逻辑推理
根据已有的事实,经过分析、推断,就能找到答案,这种解决问题的方法就是逻

辑推理。

知识点三:解决问题的策略
1.列表法:在解决问题时,可以用表格将条件和问题整理出来,就能发现数量之

间的联系,找出规律,顺利解题

2.图解法:就是借助图形,通过画线段或直观图,把应用题中抽象的数量关系,

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直观形象地显示!来,使其一目了然,帮助我们理解题意,明确数量的关系,进

而很快地寻找出解题的途径不方法。

3.枚举法:根据题目要求,将符合要求的结果不重复、不遗漏地--列举出来,从

而解决问题的方法叫做枚举法,也叫做列举法或穷举法。

4.逆推法:从应用题的问题的最后结果出发,利用已知条件一步一步倒着推理,

直到解决问题,这种思考方法叫做逆推法,又称为“倒推法”或“还原法”

5.假设法:常把问题中的一个未知数假定为已知的,然后根据题目中的已知条件

推算,其结果常与题目对应的已知数不符,再加以适当调整,就可以求出结果。

鸡兔同笼问题常用假设法求解,鸡兔同笼问题也称设置问题。

6.替换法:根据两种数量中,某种数值 4 相等的关系,用一种量替换 另一种量

来寻得解决问题的思考方法,叫做替换法。

能力提升百分练

一、精挑细选(共 5 题;每题 2 分,共 10 分)
1.
(2021·泗洪)下图是某楼房上的蓄水池横截面图,分为深水区与浅水区,如果这个蓄水池
以固定的流量注水,那么下图能表达水的最大深度 h 和注水时间 t 之间关系的是( )




A. B.




C. D.




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2.(2021·龙湖)从甲城到乙城,A 车要开 12 小时,B 车要开 8 小时,A、B 两车速度比是
()。
11
A. : B.3:2C.2:3
8 12
3.(2021·承德)甲、乙两地相距 715 千米,A、B 两车同时从甲、乙两地出发,相对开出。
已知 A 车每小时行驶 75 千米,B 车每小时行驶 65 千米,从开始到两车相遇后又相距 55 千米
共用了()时。
A.5B.5.5C.4.6
4.食堂提供的菜色是一荤一素,其中荤菜有猪肉和鱼肉,素菜有白菜、豆腐和萝卜,那么共
有()种菜色搭配。
A.2B.3 C.5D.6
5.(2020 六上·安居期末)行驶同一段路,甲车用 20 分钟,乙车用 25 分钟,甲乙两车的速
度比是()。
11
A.4:5B.5:4C.:
20 25
二、判断正误(共 5 题;每题 2 分,共 10 分)
11
6.(2020 六上·邹城期末)行驶同一段路,甲用了 小时,乙用了 小时,甲、乙速度
54
的比是 5:4。()
7.
(2020·嵩明)小明和小亮从学校步行到图书馆,小明用了 5 分钟,小亮用了 6 分钟,小明
和小亮的速度比是 5:6。( )
8.从 8 袋盐中找一袋质量不足的,用天平称,至少称两次一定能找出来。( )
9.(2019·黔东南)3 个外形、颜色都相同的小球,有一个与另外两个质量不同,用天平称 1
次,保证能把它找出来。( )
2 1
10.耕两块同样大小的地,第一台拖拉机用了 1 小时,第二台拖拉机用了 1 小时.那
5 3
么第一台拖拉机的工作效率高.()

三、仔细想,认真填(共 8 题;共 19 分)
11.
(2021 六下·宿迁月考)有 76 人去旅行,共租了 8 条船,大船限载 12 人,小船限载 8 人,
这些船都坐满大船有条,小船有 条。
12.张叔叔用 90 个轮子装配自行车和三轮车,一共装配了 33 辆。张叔叔装配的三轮车和自行



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车各有多少辆?(先假设自行车和三轮车的辆数如下表,再调整)

自行车辆数三轮车辆数轮子总数 与 90 个轮子比较

22 11 77 少 13 个




张叔叔装配的自行车有辆,三轮车有 辆。
13.
(2020 六上·盐城期末)QQ 和微信已经成为我们生活中必不可少的社交软件,在被调查的
300 人中,每人至少使用 QQ 和微信中的一种和别人联系,使用 QQ 的人数占 75%,使用微信的
4
人数占。QQ 和微信都使用的有人。
5
14.(2021 六上·自贡期末)在比例尺 1:6000000 的图上量得东村与西村的距离是 12 厘米,
小军开车从东村出发,每小时行 80 千米,经过 小时可到达西村.
15.(2021·长春)2014 年“世界杯”足球赛中,甲、乙、丙、丁 4 支队分在同一小组,在
小组赛中,这 4 支队中的每支队都要与另 3 支队比赛一场。根据规定:每场比赛获胜的队可
得 3 分;失败的队得 0 分;如果双方踢平,两队各得 1 分。已知:
①这 4 支队三场比赛的总得分为 4 个连续奇数;
②乙队总得分排在第一;
③丁队恰有两场同对方踢平,其中有一场是与丙队踢平的;
根据以上条件可以推断:总得分排在第四的是 队。
16.(2021·长春)一段楼梯有 12 级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上 12 级台
阶共有 种不同的走法。
17.(2021·罗湖)把一根木料锯成 4 段要用 12 分钟,照这样,如果锯成 8 段,一共需要
分钟。
18.张阿姨去批发两种不同的圆珠笔,单价分别为 5 角和 1 元。张阿姨批发了 20 支共用了 16
元,单价为 5 角的圆珠笔有支,单价为 1 元的圆珠笔有 支。

四、解答问题(共 11 题;共 61 分)
19.
(5 分)
(2021 六下·惠来期中)一项工程,如果由 12 人做,20 天可以完成;现在要提前
4 天完成,需要增加多少人?




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20.
(9 分)
(2021 六下·沧州月考)某品牌的羽绒服搞促销活动,在 A 商场打七五折销售,在
B 商场按“每满 100 元减 30 元”的方式销售。妈妈要买一件标价 1280 的这种品牌的羽绒服。
(1)(4 分)在 A、B 两个商场买,各应付多少钱?
(2)(5 分)选择哪个商场更省钱?




21.(5 分)(2021 六下·宿迁月考)宿迁市实验学校的学生正在进行开外军训,晴天每天行
20 千米,雨天每天行 10 千米,8 天一共行了 140 千米,这 8 天中有几天是晴天?有几天是雨天?




22.(5 分)(2020 六上·合山期末)在一幅比例尺是 1:2000000 的地图上,量得甲乙两地的
距离是 8 厘米。如果一辆汽车从甲地开往乙地,平均每小时行 80 千米,那么需要多少小时?




23.(5 分)小东和小军同时从学校出发去电影院.小东骑自行车,速度是 200m/分,经过 15
分钟到达,这时离电影开映还有 20 分钟.小军步行,速度是 75m/分,他到电影院要多少分钟?
当他到达电影院时,电影已经开映了几分钟?




24.(7 分)小亮和小璐在环形跑道上赛跑,跑道全长 400 米.如果甲的速度为 16 米/秒,乙
的速度为 12 米/秒.
(1)(3 分)若两人同时同地同向而行,那么多少秒后第一次相遇?



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(2)(4 分)若两人同时同地反向而行,那么多少秒后第一次相遇?(保留整数)




25.
(5 分)
(2018 六上·未央期末)笑笑伞家 5 口人准备去某地旅游。甲旅行社的收费标准是:
如果买了 3 张原价票,则其余的人按半价优惠;乙旅行社的收费标准是:家庭旅游按团体票售
出,按原价的八五折优惠。这两家旅行社的原价都是每人 1000 元。笑笑家到哪个旅行社购票
更省钱?




26.(5 分)甲、乙两地相距 270 千米,一辆汽车从甲地开往乙地,又从乙地返回甲地,去时
每小时行 45 千米,返回时每小时行 54 千米,求这辆汽车往返的平均速度.




27.
(5 分)某班将举行“庆祝建党 96 周年知识竞赛”活动,班长安排小明购买奖品,下面是
小明买回奖品时与班长的对话:
小明:“买了两种不同的笔记本,共 40 本,单价分别为 5 元和 8 元,我付了 300 元,找回
了 68 元。”
班长:“你肯定搞错了!”
小明:“哦,我把自己口袋里的 13 元一起当作找回的钱了。”
班长:“这就对了。”
请问:这两种笔记本各买了多少本?


28.
(5 分)
(2018·杭州模拟)甲、乙两个队合修一条公路,共同工作 3 天后完成全部任务的
75%,已知甲、乙两队的工作效率之比是 2:1,余下的任务由甲队单独去做,还要几天完成?




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29.(5 分)17 支排球队分成三组,其中两组各 6 支队,第三组 5 支队,第一阶段各组进行单
循环比赛;第二阶段,由各组前两名举行单循环比赛,决出冠亚军,共需举行多少场比赛?若
第二阶段中,原同一组的两队免赛,共需举行多少场比赛?若 17 支球队不分组,直接利用单
循环赛制,共要赛多少场?




答案解析
1.【答案】B
【完整解答】解:能表达水的最大深度 h 和注水时间 t 之间关系的是 B。
故答案为:B。


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【思路引导】水池下部容量大,上部容量小。下部注水速度满,时间长,上部注水速度快,时
间短。
2.【答案】C
【完整解答】解:(1÷12):(1÷8)
11
= :
12 8
1 1
=( ×24):( ×24)
12 8
=2:3
故答案为:C。
【思路引导】速度=路程÷时间,把路程看做单位 1,先分别求出 A、B 两车的速度,再写出它
们的比丙化简成最简整数比。
3.【答案】B
【完整解答】解:(715+55)÷(75+65)
=770÷140
=5.5(小时)。
故答案为:B。
【思路引导】一共用的时间=(甲、乙两地的路程+55 千米)÷速度和。
4.【答案】D
【完整解答】2×3=6(种)。
故答案为:D。
【思路引导】1 种荤菜与素菜相搭配有 3 种搭配方式,那么 2 种荤菜与素菜搭配就是有(2×3)
种搭配方式,据此解答。
5.【答案】B
【完整解答】解:设路程是 1,则
甲车的速度:乙车的速度=(1÷20):(1÷25)
1 1
=:
2025
1 1
=( ×100):( ×100)
2025
=5:4。
故答案为:B。


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【思路引导】设总路程是 1,根据速度=路程÷时间,分别计算出甲车和乙车的速度,再进行
相比即可,注意最后根据比的基本性质化成最简整数比。
6.【答案】(1)正
【完整解答】解:假设全程是 1,则
1 1
甲、乙的速度之比=(1÷ ):(1÷ )
5 4
=5:4,
所以原题说法正确。
故答案为:正确。
【思路引导】速度=路程÷时间,本题将全程看作 1,分别计算出甲、乙的速度,再进行相比
即可得出答案。
7.【答案】(1)错误
【完整解答】 小明和小亮从学校步行到图书馆,小明用了 5 分钟,小亮用了 6 分钟,小明和
小亮的速度比是 6:5。原说法错误。
故答案为:错误。
【思路引导】路程不变,速度与时间成反比例。
8.【答案】(1)正
【完整解答】解:从 8 袋盐中找一袋质量不足的,用天平称,至少称两次一定能找出来。
故答案为:正确。
【思路引导】先把 8 袋盐分成 3 份,即 3、3、2,先把两个 3 袋放在天平的两边,
如果平衡,那么次品在剩下的 2 袋中,然后把这两袋分别放在天平的两边,天平升高的那边就
是次品;
如果不平衡,那么次品在天平升高的那边,把升高的这边分成 3 份,即 1、1、1,把其中的 2
份分别放在天平的两端,如果平衡,剩下的是次品,如果不平衡,天平升高的那边就是次品。
所以至少称两次一定能找出来。
9.【答案】(1)错误
【完整解答】解: 3 个外形、颜色都相同的小球,有一个与另外两个质量不同,用天平称 2
次,保证能把它找出来。 原题说法错误。
故答案为:错误。
【思路引导】由于不知道另外一个质量是重还是轻,所以 1 次不能保证找出。先把天平两端各


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放 1 个,如果平衡,剩下的那个就是质量不同的。如果不平衡,此时就不能确定哪个质量不同,
需要把其中一个换成第三个,此时平衡,质量不同的就是换下的那个;不平衡,说明没有换的
那个质量不同。
10.【答案】(1)错误
21
【完整解答】解:1小时>1 小时,即第二台拖拉机用的时间少,则它的工作效率高,
53
原题说法错误。
故答案为:错误。
【思路引导】耕地面积相等,用的时间越少,工作效率越高,据此解答。
11.【答案】3;5
【完整解答】解:设大船有 x 条,小船有 8-x 条。
12×x+8×(8-x)=76
12x+64-8x=76
4x=12
x=3
所以大船有 3 条,小船有 8-x=8-3=5 条。
故答案为:3;5。
【思路引导】本题可以用方程作答,即设大船有 x 条,小船有 8-x 条,题中存在的等量关系是:
大船限载的人数×租大船的条数+小船限载的人数×租小船的条数=一共有的人数,据此代入数
据和字母作答即可。
12.【答案】10;23;89;少 1 个;9;24;90;正好;9;24
【完整解答】解:

自行车辆数 三轮车辆数 轮子总数与 90 个轮子比较

221177少 13 个

102389少1个

9 2490正好

张叔叔装配的自行车有 10 辆,三轮车有 23 辆。
故答案为:10;23;89;少 1 个(答案不唯一);9;24;90;正好;9;24。
【思路引导】第一栏自行车 22 辆,三轮车 11 辆,轮子总数比 90 个少,说明自行车辆数多了;
第二栏要减少自行车的辆数,增加三轮车的辆数;直到轮子数正好是 90 个,这样就能确定自

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行车和三轮车的辆数。
13.【答案】165
4 1111
【完整解答】解:75%+-1=, ×300=165 人,所以 QQ 和微信都使用的有 165 人。
5 2020
故答案为:165。
【思路引导】将调查的人数看成单位“1”,那么 QQ 和微信都使用的人数占调查人数的几分之
几=使用 QQ 的人数占百分之几+使用微信的人数占几分之几-1,所以 QQ 和微信都使用的人数=QQ
和微信都使用的人数占调查人数的几分之几×调查的人数。
14.【答案】9
【完整解答】解:实际距离=12÷(1:6000000)
=12×6000000
=72000000(厘米)
=720 千米
720÷80=9(小时)
所以经过 9 小时可到达西村。
故答案为:9。
【思路引导】从东村到西村的距离=图上距离÷比例尺,再利用 1 千米=100000 厘米将实际距
离的单位转化成千米数,最后利用经过的时间=实际距离(千米数)÷每小时行驶的千米数,
代入数值计算即可。
15.【答案】丙
【完整解答】解:
(1)四队的得分为 9、7、5、3 或者 7、5、3、1,根据题意可知,乙队的分
数只能是 7 分;
(2)确定了乙队的分数,就可以知道丁队了,丁队的分数是 5 分;
(3)根据比赛规则及得分为连续奇数可知,乙队两胜一平,丁为两平一胜,由此可知,丙为
一平两负,甲为两负一胜,所以丙得分最少为 1 分。
故答案为:丙。
【思路引导】因为一场胜利可以得到 3 分,所以 3 场比赛最多得到 9 分,又根据题意,得分为
4 个连续奇数,所以得分为:9、7、5、3 或者 7、5、3、1,由于题目说乙队排名第 1,而丁队
有 2 场踢平,且有一场是对丙对的平局,那么乙队的分数只能是 7 分。因为如果乙队获得 9
分,那么意味着,丁队的战绩为 2 平 1 负,得到 2 分,不符合题意中的连续奇数,那么确定了


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乙队的分数,就可以知道丁队了。丁队的分数是 5 分(剩下那场如果是负,丁得分就是偶数)。
根据比赛规则及得分是连续奇数可知,乙为两胜一平,丁为两平一胜,由此可知,丙为一平两
负,甲为两负一胜,所以丙得分最少为 1 分。
16.【答案】233
【完整解答】解:登上第 1 级:1 种
登上第 2 级:2 种
登上第 3 级:1+2=3 种
登上第 4 级:2+3=5 种
登上第 5 级:3+5=8 种
登上第 6 级:5+8=13 种
登上第 7 级:8+13=21 种
登上第 8 级:13+21=34 种
登上第 9 级:21+34=55 种
登上第 10 级:34+55=89 种
登上第 11 级:55+89=144 种
登上第 12 级:89+144=233 种
故答案为:233。
【思路引导】这是一个经典的递归问题。也就是费波纳西级数。f(n) = f(n-1) + f(n-2)。如
果我们第一部选 1 个台阶,那么后面就会剩下 n-1 个台阶,也就是会有 f(n-1)种走法。如果
我们第一部选 2 个台阶,后面会有 f(n-2)个台阶。因此,对于 n 个台阶来说,就会有 f(n-1) +
f(n-2)种走法。
17.【答案】28
【完整解答】解:12÷(4-1)
=12÷3
=4(分钟)
(8-1)×4
=7×4
=28(分钟)
故答案为:28。



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【思路引导】锯成 4 段需要锯 3 次,用 12 除以 3 求出锯一次需要的时间;锯成 8 段需要锯 7
次,用每次的时间乘 7 即可求出锯成 8 段需要的时间。
18.【答案】8;12
【完整解答】解:设单价为 5 角的圆珠笔有 x 支,则单价为 1 元的圆珠笔有(20-x)支,
0.5x+1×(20-x)=16
20-0.5x=16
0.5x=20-16
0.5x=4
0.5x÷0.5=4÷0.5
x=8
20-8=12(支)
故答案为:8;12。
【思路引导】此题主要考查了鸡兔同笼的应用,可以列方程解答,设单价为 5 角的圆珠笔有 x
支,则单价为 1 元的圆珠笔有(20-x)支,5 角×单价 5 角的圆珠笔数量+1 元×单价 1 元的圆
珠笔数量=一共用去的钱数,据此列方程解答。
19.【答案】解: 20×12÷(20-4)-12
=240÷16-12
=15-12
=3(人)
答:需要增加 3 人。
【思路引导】需要增加的人数=原来的人数×原来做的天数÷(原来做的天数-需要提前的天数)
-原来的人数,代入数值计算即可。
20.【答案】(1)解:在 A 商场买:1280×75%=960(元);
在 B 商场买:1280 里面含有 12 个 100,减去 12×30=360(元);
应付:1280-360=920(元)。
答:在 A 商场买,应付 960 元,在 B 商场买,应付 920 元。
(2)解:960>920。
答:选择 B 商场更省钱。
【思路引导】(1)在 A 商场买:标价×折扣=现价;在 B 商场买:先求出 1280 里面含有几个



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100,个数×30 元=便宜的钱数,标价-便宜的钱数=应付的钱数;
(2)哪个花的钱少,选择那个商场更省钱。
21.【答案】解:假设全部是晴天
20×8=160(千米)
160-140=20(千米)
雨天 20÷(20-10)=2(天)
晴天 8-2=6(天)
答:有 6 天是晴天,2 天雨天。
【思路引导】假设全是晴天,雨天的天数=(晴天每天行的距离×一共行的天数-实际一共行的
距离)÷晴天每天和雨天每天行的距离之差,所以晴天的天数=一共行的天数-雨天的天数。
22.【答案】解:2000000×8=16000000 (cm)=160(km)
160÷80=2(小时)
答:需要 2 小时。
【思路引导】比例尺=图上距离:实际距离,所以实际距离=图上距离÷比例尺,本题先计算出
实际距离,再根据 1km=1000m=100000cm 将单位转化成千米数,再根据时间=路程÷速度计算即
可得出答案。
23.【答案】40 分;5 分.
【完整解答】从小东和小军离开学校时算起,电影开映时间还有:
15+20=35(分)
小军从学校到电影院所用时间:
200×15÷75
=3000÷75
=40(分)
小军到达电影院时,电影已经开映:40-35=5(分)
答:小军到电影院需要 40 分,当他到达电影院时,电影已经开映了 5 分钟.
【思路引导】根据题意可知,要求小军从学校到电影院用的时间,用路程÷速度=时间,据此
列式计算,然后求出小军离开学校时,电影开映还有多长时间,最后用小军到达电影院用的时
间-从出发到开映的时间=电影已经开映的时间,据此解答.
24.【答案】(1)解:400÷(16-12)



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=400÷4
=100(秒)
答:100 秒后第一次相遇.
(2)解:400÷(16+12)
=400÷28
≈14(秒)
答:14 秒后第一次相遇.
【思路引导】(1)属于追及问题,路程差÷速度差=追及时间,根据公式列式计算;(2)属于相
遇问题,路程÷速度和=相遇时间,根据公式列式计算即可.
25.【答案】解:1000×3+1000÷2×2
=3000+1000
=4000(元)
1000×5x85%
=5000×85%
=4250(元)
答:笑笑到甲旅行社购票更省钱.
【思路引导】甲旅行社买 3 张原价票,买 2 张半价票,这样计算出甲旅行社的钱数;乙旅行社
按照每人票价是 1000 元的 85%计算出总价;比较后判断哪家根省钱即可.
26.【答案】解:270×2÷(270÷45+270÷54)=540÷11≈49.09(千米/时)
答:这辆汽车往返的平均速度约是 49.09 千米/时。
【思路引导】往返路程÷往返时间=平均速度。
这是一道求平均速度的行程问题。要求往返的平均速度就是用往返的总路程作为总量,把往返
的总时间作为总份数求解。
27.【答案】解:8 元的:(300-68+13-5×40)÷(8-5)=15(本)
5 元的:40-15=25(本)
【完整解答】 8 元的:(300-68+13-5×40)÷(8-5)
=(300-68+13-200)÷(8-5)
=(232+13-200)÷3
=45÷3



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=15(本)
5 元的:40-15=25(本).
答:8 元的笔记本买了 15 本,5 元的笔记本买了 25 本.
【思路引导】此题主要考查了鸡兔同笼问题,可以用假设法解答,假设全部买的是 5 元的笔记
本,用乘法计算出 40 本笔记本一共花了多少钱;
根据条件,再计算出实际用去的钱数,用付出的钱数-找回的钱数+小明垫付的钱数=实际用去
的钱数,然后用实际用去的钱数-40 本笔记本按单价 5 元买的钱数=剩下的钱数,然后除以一
本 8 元与 5 元笔记本的差价,即可得到 8 元的笔记本买了几本;
最后用总本数-8 元的笔记本数量=5 元的笔记本数量,据此列式解答.
2
28.【答案】解:(1﹣75%)÷(75%÷3× ),
2 +1
13 1 2
= ÷( × × ),
44 3 3
=,


1
=1(天);
2
1
答:余下的任务由甲队单独去做,还要 1 天完成
2
【思路引导】将这条公路长度看作工作总量 1,用(1-75%)求出未完成的工作量,用 75%除以
工作时间求出工作效率和,用工作效率和乘甲占效率和的分率求出甲的工作效率,再用未完成
的工作量除以甲的工作效率即可解答.
29.
【答案】解:6×(6-1)÷2×2+5×(5-1)÷2=30+10=40(场)40+6×(6-1)÷2=40+15=55(场);
55-3=52(场);17×(17-1)÷2=17×16÷2=136(场)答:第一种情况共需要 55 场;第二种情况
共需要 52 场;第三种情况共需要 136 场.
【思路引导】单循环赛制的场数=队伍数×(队伍数-1)÷2,根据这个公式分别计算;注意第二
种情况下,三组各有两队不需要再比赛,因此要减少 3 场比赛.




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