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[教案设计] 北师大版中学数学七年级下第一章整式的乘除1.6完全平方公式(第1课时)教学详案.docx

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发表于 2022-11-24 09:38:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
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资源描述
北师大版中学数学七年级下第一章整式的乘除1.6完全平方公式(第1课时)教学详案.docx内容摘要: 第一章整式的乘除
6 完全平方公式

第 1 课时

教学目标教学反思
1. 引导学生理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;

2. 会运用公式进行简单的运算.

教学重难点
重点: 弄清并描述完全平方公式的来源及其结构特点

难点: 会用完全平方公式进行运算

复习巩固
1.多项式与多项式的乘法法则:

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

2.由下面的两个图形你能得到哪个公式?




平方差公式: (� + �)(�-�) = �� -��

3.平方差公式的结构特点:

左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积;右边是两数

的平方差.

教学过程

导入新课
计算下列各题

(1)(p+1)2= (� + 1)(� + 1) = ;

(2)(m+2)2= (� + 2)(� + 2) = ;

(3)(�-1) = (� − 1)(� − 1) = ;
2




1
(4)(�-2) = (� − 2)(� − 2) =
2
.
教学反思
【学生活动】独立完成.

(1)� +2 �+1;
(2)� +4 �+4;(3)� -2 �+1;(4)� -4 �+4.
22 2 2




探究新知
【实践探究,交流新知】

1.完全平方公式

【教师提问】想一想,这些计算结果有什么规律和特点?根据你发现的

规律,计算下列式子:

(� + �) =
2
�� + ��� + �� ;

(� − �) =
2
�� − ��� + �� .

【教师提问】根据以前学过的多项式乘法如何验证?请试一试.

(� + �) =(� + �)(� + �)=� +��+��+� =� +2��+� .
2 2 2 2 2



(� − �) =(� − �)(� − �)=� -��-��+� =� -2��+� .
2 2 2 2 2



【师生总结】

两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们

的积的 2 倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

字母表示:(� + �) = � +2��+� ;(� − �) = � -2��+� .
2 2 2 2 2 2




2.完全平方公式的结构特征

【教师提问】这两个式子有何结构特征呢?

【学生活动】先独立思考,再与同伴交流,踊跃回答.

【师生总结】
(1)两个公式的左边都是一个二项式的平方,两者仅有一

个“符号”不同;

(2)右边都是二次三项式,其中两项为左边两数的平方和,另一项是

左边两数积的 2 倍,且与两数中间的符号相同;

(3)公式中的字母 a,b 可以表示数、单项式或多项式.

速记口诀:首平方,尾平方,积的 2 倍在中央,符号确定看前方.



3.对完全平方公式几何意义的探究

【教师提问】我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片

拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.观察下面图形,回答问题.


2
【学生活动】根据图形填空.
教学反思
如图 1 可以用来解释(a+b)2=a2+2ab+b2;如图 2 可以用来解释(a-b)2

=a2-2ab+b2;




图1图2

【教师总结展示】我们还可以通过下面的图形验证一个等式:

(a+b)2-(a-b)2=4ab.




【合作探究,解决问题】

【小组讨论】
例1运用完全平方公式计算:

(1)(2x-3)2;(2)(4x+5y)2 ; (3)(mn−a)2.

解:(1)(2x-3)2=(2x)2-2·2x·3+32

=4x2-12x+9;

(2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2;

(3)(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2

=m2n2-2amn+a2.

【教师提问】思考(� + �)2 与( − � − �)2 相等吗?(� − �)2 与(� − �)2 相等

吗?

(� − �)2 与�2-�2 相等吗?为什么?

【学生活动】小组讨论,代表回答.

解:( − � − �)2=(−�)2-2·(−�)·�+ �2= �2+2��+ �2=(� + �)2;
(� − �)2= �2 − 2�� + �2 = �2 − 2�� + �2 = � − � 2 .

(� − �)2 与�2-�2 不一定相等,只有当� = 0 或� = �时,两者才相等.

例2如果 36�2 +(�+1)� +25 2
是一个完全平方式,求�的值.

解:∵36�2 +(�+1)� +252


=( ± 6�)2 + �+1 � + ±52



3
∴ (� + 1)� = ± 2·6�·5 ,
教学反思
∴ �+1= ± 60,
∴ �=59 或-61.
【总结】两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍,就构成了一个完全平

方式.注意积的 2 倍的符号,避免漏解.
【拓展延伸】

例3 如图为杨辉三角的一部分,它的作用是指导读者按规律写出形如

(a+b)n(n 为正整数)展开式的系数.




请你仔细观察下列等式中的规律,利用杨辉三角填出(a+b)6 展开式中所

缺的系数.

(a+b)1=a+b;

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

则(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+________a3b3+15a2b4+6ab5+b6.

【探索】由(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+

3ab2+b3,得(a+b)n 的各项展开式的系数除首尾两项都是 1 外,其余各项系

数都等于(�+�)�−1 的相邻两个系数的和,则(a+b)4 的各项系数依次为 1、4、

6、4、1;(a+b)5 的各项系数依次为 1、5、10、10、5、1,因此(a+b)6 的

各项系数分别为 1、6、15、20、15、6、1.

【答案】20

课堂练习
1.若� + �=4,则�2 + 2�� + �2 的值是( )

A.8 B.16C.2 D.4

2.运算结果是 x4y2-2x2y+1 的是( )

A.(-1+x2y2)2B.(1+x2y2)2

C.(-1+x2y)2 D.(-1-x2y)2

3.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是 4�2 +
2
+25 ,但中间一项不慎被污染了,这一项应是()

A. 10� B. 20� C.±10�D.±20�

4.如果�2 − 6� + �是一个完全平方式,那么 N 是()

A.11 B.9C.-11D.-9
4
5.运用完全平方公式计算:

(1)(-3a+2b)2;(2)(a+2b-1)2.



参考答案
1.B2.C 3.D 4.B

5.解:(1)原式=(-3a)2+2·(-3a)·2b+(2b)2

=9a2-12ab+4b2.

(2)原式=(a+2b)2-2(a+2b)+1

=a2+4ab+4b2-2a-4b+1.

课堂小结
1.完全平方公式

两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们

的积的 2 倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

字母表示:(� + �) = � +2��+� ;(� − �) = � -2��+� .
2 2 2 2 2 2




2.公式特征

(1)两个公式的左边都是一个二项式的平方,两者仅有一个“符号”不

同;

(2)右边都是二次三项式,其中两项为左边两数的平方和,另一项是

左边两数积的 2 倍,且与两数中间的符号相同;

(3)公式中的字母 a,b 可以表示数、单项式或多项式.

板书设计
完全平方公式

1.完全平方公式

两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们

的积的 2 倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

字母表示:(� + �) = � +2��+� ;(� − �) = � -2��+� .
2 2 2 2 2 2




2.特征

首平方,尾平方,积的 2 倍在中央,符号确定看前方.



5
3.完全平方式

两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍,就构成了一个完全平方式.




6
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