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[教案设计] 第7章一次方组程7.1二元一次方程组和它的解教学详案.docx

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发表于 2022-11-24 09:40:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
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资源描述
第7章一次方组程7.1二元一次方程组和它的解教学详案.docx内容摘要:第 7 章 一次方程组
7.1 二元一次方程组和它的解

教学目标 教学反思
1.了解二元一次方程及二元一次方程组的概念,能根据某一情境列出
二元一次方程组.
2. 理解二元一次方程组解的概念.
3. 能判断一组数是否是一个二元一次方程组的解.

教学重难点
重点:理解二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义.
难点:检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.

教学过程
导入新课
1.什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一个数是
否是这个方程的解?
2.列方程解应用题的步骤.

探究新知
问题 1:暑假里,《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛,勇
士队在第一轮比赛中共赛 9 场,得 17 分.
比赛规定胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,勇士队在这一
轮中只负了 2 场,那么这个队胜了几场?又平了几场呢?
分小组进行探索求解,要求各小组用多种方法求解,看哪一组用的方法多.
(1)算术法:,即勇士队胜 5 场,平 2 场.
(3×7−17)÷(3−1)=2(场)
(2)一元一次方程:设勇士队胜了 x 场,则可得
3x+(7−x)×1=17,
解得 x=5,
即勇士队胜 5 场,平 2 场.
解后反思:既然是求两个未知量,那么能不能同时设两个未知数?
(3)二元一次方程组:设勇士队胜 x 场,平 y 场,
让学生在空格中填人数字或式子:




那么根据填表结果可知
x+y=7, ①
3x+y=17, ②
这两个方程有什么共同的特点?

1
(都含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是 1)
这里的 x,y 要同时满足两个条件:一个是胜与平的场数和是 7 场;另
教学反思
一个是这些场次的得分一共是 17 分.也就是说,两个未知数 x,y 必须同时
满足方程①②.因此,把两个方程合在一起,并写成

ì x + y = 7,①
í
î3 x + y = 17.②
教师小结:上面列出的两个方程与一元一次方程不同,每个方程都有两
个未知数,含未知数的式子都是整式,并且未知数项的次数都是 1,像这样
的方程我们把它叫做二元一次方程,把两个二元一次方程合在一起,就组成
了二元一次方程组.
结合一元一次方程,二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释;
“元”与“未知数”相通,几个元是指几个未知数,“次”指未知数的最高
次数.
|m| 2 n-1
例 1 已知 | m - 1| x + y= 3 是二元一次方程,则 m+n=________.

【互动探索】(引发学生思考)二元一次方程的指数必须满足什么条件?
系数呢?
【分析】根据题意,得|m|=1 且|m-1|≠0,2n-1=1,解得 m=-1,
n=1.所以 m+n=0.
【答案】0
【互动总结】(学生总结,老师点评)二元一次方程必须符合以下三个条
件:(1)方程中只含有 2 个未知数;(2)含未知数的项的最高次数为 1;(3)方
程是整式方程.
二元一次方程的解:一般地,二元一次方程有无数组解.
如满足方程 2x+y=6 的解是:

ì 1 ì 5
ì x = 1, ì x = -1, ï x = , ï x = - ,
íí í 2 í 2 ……等.
î y = 4, î y = 8, ï y = 5, ï y = 11
î î
但在某些特定情况下,解可能有限,如求方程 3x+y=17 的正整数解是

ì x = 1, ì x = 2, ì x = 3, ì x = 4, ì x = 5,
í í ííí 共 5 组.
î y = 14, î y = 11, î y = 8, î y = 5, î y = 2
二元一次方程组的解:使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值
都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了 5 场, 平
了 2 场,即 x=5,y=2.
这里的 x=5 与 y=2 既满足方程①,即 5+2=7.
又满足方程②,即 3×5+2=17.
我们就说 x=5 与 y=2 是二元一次方程组

ì x + y = 7,ì x = 5,
í 的解,记作 í
î3 x + y = 17 î y = 2.

2
ì x = 1, 教学反思
例 2 已知 í是方程 2x+ay=3 的一个解,那么 a 的值是()
îy =1

A.1 B.3C. −3 D.− 1

【互动探索】(引发学生思考)二元一次方程的解满足什么条件?

ì x = 1,
【分析】将 í 代入方程 2x+ay=3,得 2+a=3,所以 a=1.
îy =1
故选 A.
【答案】A
【互动总结】(学生总结,老师点评)根据方程的解的定义知,将 x,y
的值代入方程中,方程左右两边相等,即可求解得出 a 的值.
例 3 某校现有校舍 20 000 m2,计划拆除部分旧校舍,改建新校舍,
使校舍总面积增加 30%,若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的 4
倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校舍?
【问题探索】如下图所示,若设应拆除旧校舍 x m2,建造新校舍 y m2,
图中实线部分围成的长方形表示现有校舍面积.画“×”部分的面积表示拆
除的旧校舍的面积,由虚线围成的长方形(包括画“×”部分的面积)为新建
校舍的面积,因此有 y=4x 和 y−x=20 000×30%.




【解】设应拆除 x m2 旧校舍,建造 y m2 新校舍,则

ì y - x = 20 000 ´ 30%,
í
î y = 4 x.
【总结】本题有两个地方容易出错:第一,新建校舍与扩建校舍的区别,
新建校舍由拆除和扩建两部分组成;第二,校舍总面积增加 30%,是指扩
建部分的面积占原有面积(20 000 m )的 30%,而不是新建校舍的面积占原
2


有面积的 30%.根据所设未知数,第一个方程不会出错,第二个方程容易错
误地列为 y=20 000×30%.

课堂练习
1.下列方程中是二元一次方程的是( )

A.x2−2y+1=0 B.x+2=0

C.2x+y+z=1D.2x+y=2

2.下列方程组中是二元一次方程组的是()
2
−�=4�−�=4
A. �B.
2� + � = 12� + � = 3



3
2� − � = 5�+�=5
C.D.教学反思
2� + � = 1�2 + �2 = 12

3.同时满足二元一次方程 x−y=9 和 4x+3y=1 的 x,y 的值为( )
�=4 � =− 4
A.B.
� =− 5�=5
� =− 2�=3
C.D.
�=3 � =− 6

� =− 1, � = 2, � = 4,
4.已知下列三组数值:
� = 1, � = 5, � = 11,

(1)哪几组数值是方程 y=3x−1 的解?

(2)哪几组数值是方程 3y−4x=7 的解?
� = 3� − 1
(3)哪几组数值是方程组 的解?
3� − 4� = 7

5.根据题意列方程组.

(1)某班共有学生 45 人,其中男生比女生的 2 倍少 9 人,该班的男生、

女生各有多少人?

(2)将一摞笔记本分给若干同学.每个同学 5 本,则剩下 8 本;每个同

学 8 本,又差了 7 本,共有多少本笔记本,多少个同学?
参考答案
1.D
2.B
3.A
� = 2,
4.解:(1)把 代入方程得左边=5,右边=2×3−1=6−1=5,
�=5
�=2
∵左边=右边,∴是方程 y=3x−1 的解.
�=5
�=4
把代入方程得左边=11,右边=4×3−1=12−1=11,
� = 11
�=4
∵左边=右边,∴ 是方程 y=3x−1 的解.
� = 11
� =− 1
(2)把代入方程得左边=3−4×(−1)=3+4=7,右边=7,
�=1
� =− 1
∵左边=右边,∴ 是方程 3y−4x=7 的解.
�=1
�=2
把 代入方程得左边=15−8=7,右边=7,
�=5
�=2
∵左边=右边,∴是方程 3y−4x=7 的解.
�=5




4
� = 2,� = 3� − 1,
(3)根据(1)(2)可得
�=5
是方程组
3� − 4� = 7
的解. 教学反思
5.解:(1)设该班的男生有 x 人,女生有 y 人,由题意得

� + � = 45,
� = 2� − 9.
(2)设有 x 本笔记本,y 个同学,由题意得

� = 5� + 8,
� = 8� − 7.

课堂小结
1.二元一次方程的概念.
2.二元一次方程组的解.

布置作业
课本第 26 页习题 7.1 全部.

板书设计
第 7 章 一次方程组
7.1 二元一次方程组和它的解
1. 二元一次方程(组)的概念
2. 二元一次方程组的解的概念




5
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